Skip to content

Материально-энергетический баланс и кинетика роста микроорганизмов И. Г. Минкевич

У нас вы можете скачать книгу Материально-энергетический баланс и кинетика роста микроорганизмов И. Г. Минкевич в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Сформулирована система уравнений материально-энергетического баланса метаболизма, описывающая взаимосвязь парциальных обменов через переносчики энергии. На основе теории материально-энергетического баланса: Разработана общая теория ионного баланса популяции микроорганизмов и среды ее обитания как часть теории материально-энергетического баланса.

На этой основе разработаны и экспериментально осуществлены: Экспериментальные исследования роста микробных популяций и интерпретация полученных данных в терминах теории материально-энергетического баланса показали, что кинетическая зависимость скорости роста от концентрации субстрата S связана с влиянием S не только на скорость потребления субстрата, но и на отдельные парциальные обмены, в том числе на процессы поддержания клеток.

На этой основе разработана математическая модель, описывающая кинетику роста микробной культуры с высокой точностью. Изучены динамические свойства сосредоточенной модели непрерывной культуры микроорганизмов, показано существование быстрых и медленных переходных процессов в этом объекте. Разработано понятие изохроны, которое позволяет дополнить фазовый портрет динамической системы ее изохронным портретом.

Показано, изохроны могут иметь разрывы вдоль некоторых фазовых траекторий. В области быстрых переходных процессов угол наклона изохрон по отношению к траекториям невелик. Разработана базовая распределенная модель популяции микроорганизмов. Исследованы решения системы уравнений для распределения клеток по возрасту и концентрации субстрата, влияющего на скорость деления клеток.

Выявлены динамические свойства решений этой системы, аналогичные свойствам сосредоточенной модели - временное масштабирование переходных процессов, существование неустойчивых стационарных решений со свойствами седла. Выявлены, с другой стороны, свойства этих решений, качественно отличающиеся от свойств сосредоточенной системы -колебательный характер переходных процессов, зависимость периода колебаний от концентрации субстрата в среде, окружающей клетки, возможность не только затухания возрастной синхронности, но и возникновения ее заново с последующим затуханием.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своим учителям с физического факультета МГУ и ФИАН РАН, коллегам с кафедры биофизики биологического факультета МГУ, коллегам и соавторам из Института биохимии и физиологии микроорганизмов и других институтов за полученные от них знания, поддержку, плодотворное творческое сотрудничество.

Клеточные популяции микроорганизмы, культуры клеток тканей давно и широко исследуются как в аспекте особенностей их метаболизма, так и с точки зрения поведения целостного объекта. Эти два аспекта, глубоко и тесно связанные в самом объекте, оставались достаточно разобщенными в исследованиях, проводимых биофизиками , биохимиками и физиологами. Безусловно, это вызвано специфичностью экспериментальных методов, существенно различающихся при изучении функционирования, например, рибосом , митохондрий и других клеточных структур, а, с другой стороны, при работе с культурами микроорганизмов и клеток тканей.

В литературном обзоре нашей диссертации Глава 1 описаны результаты многочисленных исследователей, работавших в самых различных областях в том числе отстоявших друг от друга, на первый взгляд, достаточно далеко и сделавших много для подготовки к разработке теории материально-энергетического баланса роста клеточных популяций.

На этой основе нами осуществлена собственно разработка этой теории. В нашей работе различные подходы и направления вышеупомянутых исследований объединены друг с другом и с новыми элементами Ф-базис, редоксон , парциальные обмены , что позволило создать новый подход к описанию процесса конверсии вещества и энергии в клеточном метаболизме.

Теория материально-энергетического баланса роста клеточных популяций МЭБ основана на разработанном нами понятии физиологического базиса Ф-базиса для представления состава молекул. В этой системе отсчета нами введена универсальная единица восстановленности - редоксон, которая является общей мерой для потоков по любым метаболическим путям: Редоксон характеризуется стандартной энтальпией и стандартной свободной энергией Гиб-бса, которые описывают его энергетический уровень в Ф-базисе.

Любое химическое соединение, восстановленное относительно базисных веществ, обладает ненулевым числом редоксонов. В органических соединениях их энергетический уровень, средний на молекулу, имеет значения, близкие к универсальной величине, но не строго равные ей; отклонения имеют порядок нескольких процентов. Нами показано, что и существование этих отклонений, и их относительная малость играют фундаментальную роль в метаболизме.

Малость отклонений лежит в основе того, что многие биохимические реакции обратимы или близки к обратимым. В то же время наличие этих отклонений делает возможным существование электрон-транспортных цепей. Редоксон может рассматриваться как единица квантования метаболически доступной энергии, основанная на энергетических свойствах электронных оболочек атомов, ответственных за химические связи.

Протоны, имеющие высокий трансмембранный потенциал высокоэнергетические протоны, ВЭП , и макроэргические связи МЭС представляют собой также единицы квантования метаболически доступной энергии, меньшие по количеству переносимой энергии, чем редоксон. Все они являются материально-энергетическими единицами, поскольку имеют совершенно строгую связь с количеством вещества и приблизительно постоянный уровень энергии.

Теория материально-энергетического баланса роста клеточных популяций является компактной, поскольку она выделяет небольшое число факторов, влияющих на энергетическую эффективность преобразования вещества и энергии при росте.

Это стехиометрические коэффициенты сопряжения потоков редоксонов и потоков ВЭП и МЭС, а также скорость кругооборота вещества в клетках. Выведенный нами закон сохранения редоксонов определяет жесткие рамки, в которых протекает метаболизм. Важную роль в теории материально-энергетического баланса играет введенное нами деление метаболизма на парциальные обмены. Это деление носит параллельный характер - существуют биохимические реакции, которые входят в два или более парциальных обмена.

Это реакции метаболизации субстрата - источника вещества и энергии. Потоки через них делятся на части, соответствующие потокам редоксонов, выходящим из метаболизма -конструктивный обмен заканчивается синтезом вещества биомассы клеток , дыхательный обмен поставляет редоксоны в дыхательную цепь , продукт-ный обмен заканчивается образованием внеклеточных органических продуктов.

Такие парциальные обмены имеют вход и выход. Кроме того, существуют парциальные обмены циклического характера. Это, во-первых, поддержание клеток - кругооборот вещества, состоящий из распада и образования заново. Циклический характер имеет также фотосинтетический энергетический обмен.

Учет разомкнутости или цикличности парциального обмена крайне важен для правильного составления его схемы. Составление схемы парциального обмена связано с различным объемом необходимой для этого информации.

Продуктный обмен, как правило, содержит относительно небольшое число реакций, которые хорошо известны, и поэтому составление его схемы - задача достаточно простая. Электрон-транспортные цепи содержат параллельные потоки с разной стехиометрией продукции ВЭП, что усложняет точное определение суммарного коэффициента образования высокоэнергетических протонов в расчете на один редоксон.

Но эта задача в целом успешно решается исследователями. Наиболее трудно составить схемы конструктивного обмена и кругооборота вещества поддержание клеток. Нами показано, что стехиометрические коэффициенты для потребления АТР в конструктивном обмене, полученные этими исследователями, дают завышенные значения выхода биомассы.

Возможны две причины этого - 1 отсутствие информации о каких-то затратах энергии, имеющих место в конструктивном обмене или 2 влияние затрат энергии на поддержание клеток, скорость которых пропорциональна скорости роста биомассы и потому является кажущимся вкладом в потребление энергии при синтезе макромолекул биомассы.

Нами был разработан способ обойти эту трудность. Он заключается в том, что гетеротрофный рост на глюкозе принимается за стандартный процесс, а для роста на других источниках вещества и энергии вводятся поправки на количество израсходованных переносчиков энергии МЭС, ВЭП согласно различиям между метаболизмом на глюкозе и на данном субстрате.

Этот подход показал свою работоспособность для хемогетеротрофного и фо-тотрофного роста, он перспективен для любого варианта получения вещества и энергии клетками. Что касается поддержания клеток, то эта область выглядит сейчас наиболее сложной, так как кругооборот вещества весьма разнообразен в отношении вида входящих в него процессов, их локализации и возможной регуляции.

Это отдельная область исследования, к которой, насколько мы можем заключить, нет до настоящего времени должного интереса и общего подхода. Теория МЭБ выявила глубокую связь между балансом и кинетикой роста клеточных популяций. Закон сохранения числа редоксонов устанавливает жесткие рамки, в пределах которых происходит перераспределение вещества и энергии при росте клеточных популяций. Отсюда нами выведены простые и универсальные связи между скоростями основных метаболических процессов: Балансы высокоэнергетических протонов и макроэргических связей накладывают дополнительные связи на потоки вещества и энергии в метаболизме.

Эти два баланса включают в себя непосредственные затраты ВЭП и МЭС на поддержание клеток, которые зависят от условий, в которых находятся клетки. Отсюда нами сделан вывод, что затраты энергии на клеточное поддержание лежат в основе важного механизма зависимости скорости роста популяции от концентраций субстратов, температуры и других факторов внешней среды. Этот подход позволил успешно описать рост дрожжей на этаноле с помощью математической модели. Наряду с балансом редоксонов нами рассмотрен сопряженный с ним баланс ионов при росте клеточных популяций.

Для этого была разработана обобщенная схема обозначений для молекул разных веществ с различной степенью ионизации и на ее основе найдена величина скорости подачи сре-ды-титранта при рН-статированном культивировании. Эта величина содержит важную информацию о скорости роста популяции клеток.

Наши результаты позволили определить точный вклад баланса каждого вида иона, а также величины заряда клеток на скорость подачи титранта. Были выведены уравнения динамики рН-статированной культуры, которые послужили теоретической основой для разработки нами нового метода непрерывного культивирования - бистата. Кинетические модели роста клеточных популяций интенсивно развивались в течение XX века. Ввиду сложности объекта исследования они использовали различные допущения и преднамеренные огрубления схем роста, лежащих в основе таких моделей.

Сюда следует отнести упрощения зависимости сдельной скорости роста от концентрации субстрата или температуры, отсутствие учета балансовых связей, описание клеток простейшим способом - с помощью концентрации их общего числа или биомассы и т. Тем не менее, развитие моделей постепенно включало в них все больше деталей, касающихся характеристик популяции.

Наиболее ярким примером этого можно считать разработку распределенных моделей. Они сочетают детальность описания объекта и отсутствие излишней сложности, которой обладают, например, стохастические модели. Последние адекватно описывают процессы с клетками, в которых случайность действительно играет важную роль, например, если число клеток мало и есть реальная вероятность для популяции не выжить.

Когда число клеток велико, стохастические модели редуцируются в обычные детерминистические системы дифференциальных уравнений с обыкновенными или частными производными. Прежде всего это касается разработки корректной базовой модели, удовлетворяющей требованиям баланса роста. Сложности возникают с краевыми условиями. Автору пришлось иметь дискуссии с коллегами из Германии, которые записывали краевые условие 5. Это говорит о том, что проблемы с формулировкой распределенных моделей существуют.

В нашей базовой распределенной модели краевые условия сформулированы корректно и в математическом, и в биологическом аспектах. Кроме того, эта модель, будучи детерминистической, описывает случайные вариации внутриклеточных веществ. Учет такой случайности может оказаться важным, поскольку содержание многих веществ в клетках чрезвычайно мало. Важным моментом в динамике клеточных популяций является масштабирование переходных процессов по величинам скоростей существование быстрых и медленных компонент у этих процессов.

Этот аспект динамики биологических объектов интенсивно исследовался для полиферментных систем, но почти не изучался на уровне клеточных популяций. В нашей работе исследование временного масштабирования выполнено и для сосредоточенной, и для распределенной модели. Нами разработан способ отражения временных характеристик динамического объекта на фазовой плоскости - изохронный портрет. Изохроны -линии равного времени, их множество определено динамическими свойствами системы и базовой линией на фазовой плоскости.

В нашей работе эта линия ограничивает область в окрестности стационарной точки системы, такую, что после попадания в эту область можно считать, что стационарное состояние достигнуто с заданной точностью. Изохроны - упорядоченное множество меток времени на траекториях; упорядоченность происходит из использования общей базовой линии для всего множества изохрон.

При изменении базовой линии меняется все множество изохрон. Субстрат является источником вещества и энергии для роста, а кислород связан с процессом извлечения клетками энергии из субстрата для использования в метаболизме при преобразовании субстрата в биомассу. Поэтому каждый из двух выходов представляет интерес. Среди большинства исследователей существовало мнение, что необходимо изучать оба коэффициента. Нами был поставлен вопрос о взаимосвязи этих величин.

При наличии такой связи можно ограничиться изучением одной из них, а именно, той, которую легче измерять, а другую при необходимости вычислять из первой. Нами был разработан общий подход к исследованию элементного баланса микробного роста, приложимый к любому составу участников процесса []. Этот подход на стадии исследований элементного баланса был применен к весьма распространенному в природе и биотехнологии процессу - гетеротрофному аэробному росту микроорганизмов, когда в качестве источника азота используется аммиак.

Этот случай ьыл взят также потому, что азот в NH3 находится в том же электронном состоянии, в котором находится почти весь азот биомассы. Как будет видно из дальнейшего, рассмотрение материального баланса на данном примере позволяет перейти к общей концепции материально-энергетического баланса без ограничений на вид субстратов и продуктов роста.

При составлении баланса будем учитывать из всего множества субстратов только органический субстрат, кислород и источник азота. Эти вещества служат источниками С, Н, О и N, содержание которых в клетках обычно наиболее велико по сравнению с другими элементами, получаемыми только из других субстратов Mg, Р, Fe и др. При необходимости число рассматриваемых элементов и множество субстратов могут быть легко расширены.

Мы представили элементный состав сухого вещества биомассы, состав органического субстрата и возможного органического продукта в общем ви де следующим образом []: Каждая из этих величин есть доля углерода субстрата, включенная в вещество биомассы и продукта.

Тогда процесс преобразования вещества субстратов при росте культуры с точки зрения перераспределения атомов химических элементов записывается в следующем виде []: В зависимости от микроорганизма и условий культивирования они могут меняться в пределах от нуля до некоторого максимума, о чем речь пойдет ниже. Имеются 4 условия сохранения числа атомов химических элементов С, Н, О, N, из которых условие для углерода уже учтено.

Они являются мерой восстановленности углерода соответственно органического субстрата, биомассы и органического продукта см. Именно эти величины, полученные при исследовании элементного баланса, послужили отправным пунктом дальнейшего развития наших исследований, приведшим к разработке метода материально-энергетического баланса.

Величины а, Ь и с описывают расход аммиака и кислорода и образование метаболической воды при росте культуры. Поскольку молекулярная масса кислорода равна 32, а сухая масса клеток в правой части 2. Очевидно, что строгое решение вопроса о максимально допустимом значении выхода по углероду требует совместного рассмотрения баланса вещества и баланса энергии.

Понятия Ф-базиса и редоксона Величиной, несущей в себе связь балансов вещества и энергии, является степень восстановленности у. Чтобы понять ее смысл, мы записали уравнение окисления органического вещества кислородом: Здесь CHuOvNw может быть индивидуальным органическим соединением, либо их смесью, в том числе биомассой клеток.

После сбалансирования это уравнение имеет вид: Аммиак в качестве продукта реакции выбран потому, что 1 он весьма часто является источником азота для роста, 2 азот в нем находится в электронной форме, близкой к той, которую он имеет в большей части макромолекул биомассы. О третьей причине будет сказано ниже. Если окисление происходит чисто химическим путем, то весь запас энергии органического вещества превращается в тепло.

При биохимическом окислении с участием электрон-транспортных путей часть энергии сохраняется в промежуточных носителях, а затем используется клеткой. Таким образом, процесс 2. Соответственно, С02, Н20 и NH3 следует рассматривать как вещества, имеющие нулевой уровень физиологически доступной энергии. Каждая молекула кислорода имеет 4 вакантных места для присоединения электронов других атомов и образования С02 и Н Тогда - 02 есть ко- 4 личество кислорода, пересчитанное на один электрон, акцептируемый свободным кислородом.

На первом этапе наших исследований материально-энергетического баланса мы использовали количество таких электронов для оценки энергетического запаса субстрата, органического продукта роста и сухого вещества биомассы []. Электроны, акцептируемые свободным кислородом при окислении органического вещества по схеме 2. Этот термин был предложен Payne с соавт.

Нами этот термин был расширен и применен к веществам состава C,H,0,N, включая биомассу клеток. Как упоминалось в Главе 1, ранние работы по термохимии органических соединений выявили факт приблизительного постоянства отношения теплообразования к потреблению кислорода при окислении низкомолекулярных органических соединений.

Нами было найдено, что та же закономерность имеет место и для биомассы микроорганизмов []. Сделанное нами расширение содержания понятия доступного электрона позволило сформулировать первый вариант концепции материально-энергетического баланса роста микроорганизмов, ввести понятие энергетического выхода роста и получить ряд важных результатов. В то же время понятие доступного электрона было недостаточно строгим с точки зрения термодинамического подхода, принятого в физической химии.

К тому же оно не позволяло рассмотреть случай, когда акцептором электронов в дыхательной цепи является не кислород, а другое неорганическое соединение, например, нитрат. Описание баланса метаболизма сделано нами как в форме конечных приращений [,], так и в скоростной форме [,,,].

Здесь мы излагаем второй вариант. Нами введены следующие удельные скорости, характеризующие главные метаболические потоки в клетке: Все эти величины имеют размерность ч-1 и рассчитаны на 1 экв. RO сухого вещества клеточной биомассы, имеющейся на данный момент времени.

Оно основано на законе сохранения вещества и не отражает влияние особенностей метаболизма на рост популяции. Последнее стало возможно на основе введенного нами деления метаболизма на парциальные обмены. Нами введены следующие коэффициенты, характеризующие стехиометрию парциальных обменов: YB - количество МЭС, необходимых для прохождения 1 экв.

RO по конструктивному обмену, 0 - количество МЭС, образуемых при прохождении 1 экв. RO по дыхательному обмену, р - количество МЭС, образуемых при прохождении 1 экв. RO по продуктному обмену.

Всегда FB О, 0 0. Эти коэффициенты связаны с циклическим процессом образования и потребления МЭС. Баланс МЭС имеет вид: Затрата ВЭП - это обратный перенос протона через мембрану в область, где его потенциал низок. Для уравнений баланса использованы следующие стехиометрические коэффициенты и скорости: Величины Гдм и Хя - удельные, в расчете на 1 RO существующей биомассы.

Эффективность роста биомассы и образования продуктов метаболизма Количественной оценкой энергетической эффективности роста биомассы является выход биомассы из субстрата по энергии см. Нами введен другой показатель эффективности роста - выход биомассы из субстрата по редоксонам в первоначальном варианте - выход по доступным электронам [,,,,,,]: С другой стороны, эти показатели легко находятся без применения калориметрической бомбы и без использования справочников по термодинамическим величинам, в которых то или иное вещество может отсутствовать.

Эта величина близка к отношению энергии субстрата, включенной в биомассу, к энергии, выделенной в виде тепла см. Эти величины равны а. В случае, когда субстрат - глюкоза, продукт - этанол, либо молочная или уксусная кислота, метаболический путь - путь Эмбдена-Мейерхофа-Парнаса гликолиз , продуктный обмен производит 2 МЭС АТР на 24 RO [].

Отсюда нами найдено, что! Субстратное фосфорилирование здесь играет малую роль. Расчеты затрат МЭС на синтез сухого вещества биомассы были сделаны в работах [,]. Оура [] получил другую оценку: Отсюда видно, что необходима дальнейшая работа по систематизации биохимических данных для того, чтобы получить расчетным путем достоверную оценку WB.

Скорость затрат энергии на ПКФД может иметь две составляющие - зависящую только от условий среды температура, рН, концентрации минеральных ионизированных субстратов и пропорциональную удельной скорости роста [].

Эта работа имела целью показать экспериментально действие полученной нами общей закономерности пропорциональность тепловыделения клеточной популяции при аэробном росте потреблению кислорода с универсальным коэффициентом пропорциональности, см.

Она содержит наши собственные эксперименты с синхронной культурой дрожжей Candida maltosa EH л 5, а также анализ литературных данных, в которых были опубликованы результаты по одновременному измерению скоростей дыхания и тепловыделения микроорганизмов []. Опыты с синхронной культурой Candida maltosa проводились в 8 по-вторностях. RO кислорода, потребленного клетками. По оси абсцисс отложено время, прошедшее с начала цикла удвоения биомассы.

В начале этого цикла происходит массовое образование почек у клеток дрожжей. Поэтому величина t близка к возрасту новообразованных клеток. Всего было сделано 38 измерений. Среднее значение QQ равно Данный эксперимент важен в том отношении, что отношение Q0 измерено вдоль жизненного цикла клеток и не показывает зависимости от возраста клеток.

Кроме собственных измерений, нами были использованы литературные данные из работ, в которых измерялось тепловыделение клеток. Одновременно в этих работах измерялось потребление кислорода клетками непосредственно, либо косвенно - путем балансовых расчетов.

Основываясь на этих данных, мы рассчитали тепловыделение в расчете на 1 RO потребленного клетками кислорода. Результаты представлены в таблицах 4. Эта величина также близка к вышеупомянутому значению энер-гетического уровня редоксонов 0.

Эта часть нашей работы показала, что предсказанная теорией материально-энергетического баланса пропорциональность метаболического тепловыделения клеток скорости потребления ими кислорода с универсальным коэффициентом пропорциональности подтверждается экспериментальными данными.

Данная часть нашей работы представляет собой приложение результатов теории материально-энергетического баланса к экспериментальным исследованиям выхода биомассы при росте микробных популяций, то есть эффективности преобразования вещества и энергии субстрата в вещество и энергию клеточной биомассы. Рост микробной культуры на субстратах различной степени вос-становленности. Это исследование проводилось с метанол ассимилирующими дрожжами Hansenula polymorpha DL-1 [,].

В качестве субстратов использовались метанол, этанол и глюкоза. На каждом субстрате проводили следующий эксперимент: Эти биоэнергетические параметры затем сравнивались для роста на разных субстратах.

Из таблицы видно, что we0 одинаково на глюкозе и этаноле, а на метаноле в 1. Именно такое соотношение значений те0 и было нами получено. Отметим, что величина mso, основанная на количестве массы субстрата и клеток, не выявляет влияния особенностей метаболизма на затраты энергии на поддержание клеток. Для сравнения расходов на поддержание Н. Пересчет с помощью 3. Эта величина соответствует нижнему пределу тАТР, опубликованному в литературе [2].

Взаимосвязь баланса и кинетики роста микроорганизмов в условиях субстратного лимитирования и ингибирования. Исследования проводились с этанолассимилирующими дрожжами Candida valida при непрерывном культивировании в стационарных режимах роста [, ]. Исследовалось влияние концентраций этанола S и цинка С соответственно, органического и минерального субстрата на удельную скорость роста и выход биомассы. Концентрации обоих субстратов изменялись в пределах от крайне низких до столь высоких, что рост практически прекращался, то есть фактически в полном допустимом для роста диапазоне концентраций.

Было проведено два эксперимента. Измерены значения удельной скорости роста ju и выхода биомассы из этанола YXJS- Для анализа полученных результатов нами разработана математическая модель роста клеточной популяции.

Ее отличие от моделей, опубликованных в литературе;, состоит в следующем. Это предположение является естественным, поскольку ферментативные реакции первичной мета-болизации субстрата более подвержены его влиянию, чем реакции синтеза макромолекул биомассы. В то же время существование затрат энергии на поддержание клеток требует ненулевого потока субстрата даже при нулевой скорости роста.

Поэтому корректным является принятие зависимости именно qs от концентрации субстрата. Нами исследовалось влияние концентраций двух субстратов на рост Candida valida. Поэтому удельная скорость потребления этанола рассматри- валась как функция двух концентраций - этанола S и цинка С: Эта функция взята нами в виде:.

Важной проблемой при формулировке и исследовании математических моделей является размерность системы дифференциальных уравнений. Она определяется количеством существенных переменных, описывающих тесно взаимосвязанные свойства объекта. Чем меньше размерность, тем проще система, тем меньше разнообразие ее поведения. На стадии формулирования модели упрощение достигается правильным выбором схемы механизмов, определяющих динамику объекта.

Однако в каждом случае существует минимальная схема, такая, что при дальнейшем упрощении утрачивается соответствие объекту, теряются важные особенности его динамики. Существуют, однако, системы ОДУ с такими значениями параметров, которые приводят к реальным упрощениям поведения описываемых ими объектов.

Эти системы имеют резко различающийся порядок величин правых частей, что приводит к столь же различающемуся масштабу скоростей изменения переменных и к быстрому приближению части переменных к особым подмножествам в фазовом пространстве [26,27,,,].

Например, на фазовой плоскости таким подмножеством является линия. Дальнейшее движение изображающей точки происходит вблизи такой линии или подмножества большей размерности, когда фазовое пространство имеет размерность больше, чем 2. Тем самым размерность решения вблизи такого подмножества ниже, чем размерность исходной системы уравнений, на размерность подмножества.

Скорость движения вдоль вышеописанных подмножеств намного меньше, чем скорость приближения к ним. Поэтому мы называем такие линии на фазовой плоскости линиями медленного движения ЛМД [].

Эти принципы получили широкое применение в моделях, описывающих динамику полиферментных систем в гомогенном растворе [27,,]. В моделях популяций, напротив, до наших работ они практически не использовались. Нами была поставлена задача провести подобный анализ для непрерывной культуры, найти биофизическую интерпретацию ЛМД. Этот анализ необходим не только для изучения точечной модели популяции, но и для подготовки к аналогичному изучению распределенной модели см.

© 2018 All rights reserved.